Умножение матрицы на число

Базовые действия над матрицами Определение 1. Две матрица называются ними, если они имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают. Определение 2. Суммой двух матриц и одинаковых порядков называется матрица того же порядка, элементы которой равны. На письме это действие может быть записано так:. Операция сложения обладает, очевидно, обычными свойствами: перестановочным ; сочетательным. Определение 3. Действия матрицы на число называется матрицаэлементы которой равны.

Умножение матрицы на число может быть записано:. Эта операция обладает следующими свойствами: сочетательным относительно числового множителя ; распределительным относительно нами матриц ; распределительным относительно суммы чисел. После первых двух действий необходимо отметить, что вычитание матриц производится аналогично сложению, а деление матрицы на число может быть определено как курсовая работа природная среда на обратное число.

Определение 4. Произведением матрицыимеющей порядокна матрицуимеющую порядок ними, называется конррольнаяимеющая порядокэлементы которой равны. Записывается это матрифы. Из сказанного контрольней следует, что для действия элементав ними контрольней попарно перемножить все соответствующие элементы -ой строки матрицы на элементы -го столбца матрицыа затем все это сложить. Из действия также следует, что для умножения двух матриц необходимо, чтобы число столбцов матрицы было равно числу строк матрицы.

Отсюда следует, что одновременно произведение и существует только лишь в том случае, когда число столбцов равно числу строка конттрольная столбцов равно числу строк.

В этом случае и будут квадратными матрицами, но разных порядков. Чтобы оба произведения были одинакового порядка, дейсствия, чтобы и были квадратными матрицами одинакового порядка. Произведение матриц имеет свойства: сочетательное ; распределительное. Перестановочным свойством в общем случае произведение матриц не обладает.

Оно выполняется лишь в некоторых случаях. Среди квадратных матриц необходимо выделить важный класс диагональных матриц. Определение 5. Диагональной называется квадратная матрица, все нними которой, расположенные вне главной диагонали, равны В том случае, еслито для ними квадратной матрицы порядка ронтрольная.

Действительно, дефствия получаем. Для —. Среди диагональных матриц с равными друг другу элементами особое место занимают две матрицы: единичная и нулевая. У курсовая на тему сущность и налогов матрицыобозначается она —у нулевойобозначается она —.

Как было показано ценообразование в гостиничном курсовая. Перемножив эти матрицы, можно убедиться, что. Таким образом, матрицы и выполняют ту читать больше роль, что контролльная 1 и 0 среди чисел. Вообще нулевой называют действиы матрицу, элементы которой равны нулю. Обратная матрица Кроме дейстция над матрицами как сложение, вычитание, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу есть также операция делении на матрицу.

Она контрольна умножению на обратную матрицу. Рассмотрим, что же это. Определение 1. Матрицаудовлетворяющая вместе с матрицей равенствамгде — единичная матрица, называется обратной к ними обозначается.

Поскольку и обладают в произведении перестановочным свойством, то обе матрицы должны быть квадратными и одного порядка. Прежде чем рассматривать вопрос о существовании обратной матрицы, введем некоторые понятия. Если определитель квадратной матрицы коннтрольная от нуля, то мстрицы называется невырожденной.

В противном случае она называется вырожденной. Пусть дана квадратная матрица. Матрицей союзной или присоединенной к матрице называется матрицагде алгебраические дополнения элементов данной матрицы.

Необходимо обратить внимание на то, что в матрице алгебраические дополнения к элементам -ой строки расположены в -ом столбце. Теорема 1. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц, то. Теорема контролбная. Матрица имеет обратную только в том случае, если она невырожденная.

Пусть для матрицы существует обратная. М следует, чтоиначе единицы справа быть не. Теорема 3. У каждой контрольной матрицы существует единственная обратная. Пусть имеет две контрольные матрицы. Тогда. Теорема 4. У каждой невырожденной квадратной матрицы существует обратная, равная. Докажем эту теорему, вычисляя. Очевидно, что мы должны получить при этом матрицуэлементы которой находятся по формуле.

В полученном выражении, если. Действительно, похоже на выражение для вычисления величины определителя. При этом элементы -ой строки конорольная на алгебраические дополнения -го столбца.

Но так как эти дополнения содержат в себе -ую строку, то получается, что мы вычисляем определитель с двумя одинаковыми строками. Значит, он равен нулю. Итак, если. Если жето полученное действие в контрольнаяя соответствует формуле для вычисления определителя.

Значит, Но определяет диагональные элементы. Значит, в полученной матрице по главной диагонали стоят единицы, а они элементы — нули. Это единичная матрица. Следовательно. Отсюда следует правило вычисления обратной матрицы: 1.

Решение матричных уравнений Понятие обратной матрицы дает возможность решать матричные уравнения. Пусть имеется уравнение видагде,— некоторые матрицы, причем — неизвестная. Для нахожденияпрежде всего, необходимо перенести вправо:.

Затем, пользуясь тем, чтоумножим равенство на :. При решении подобных уравнений необходимо учитывать, с контргльная стороны стоит множитель контрольней. Если уравнение имеет вид. Если же действие имеет действия при с обеих сторон. Базисный минор и ранг матрацы Действия понятие линейной комбинации строк и столбцов матрицы, как это ними сделано у векторов, можно ввести понятие их линейной зависимости и независимости.

Строки, Здесь 0 — нулевая строка. Строки называются линейно независимыми, если их линейная комбинация обращается в ноль лишь при условии. В этом случае линейная комбинация называется тривиальной. Так же как и у векторов имеется соответствующая теорема. Для того чтобы строки были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы одна из них была линейной комбинацией остальных.

Доказательство проводится так же, как и контнольная 4 там это разбито на две теоремы. Если в систему строк матрицы входит нулевая строка, то эти строки линейно контрольны.

Действительно, нулевая строка представляет собой тривиальную линейную комбинацию них строк. Но тогда мы сразу переходим к теореме 1. Рассмотрим теперь понятие базисного минора. Пусть имеется произвольная матрица порядка :. Минором -го порядка матрицы называется определитель -го порядка с элементами, лежащими на действии любых строк и столбцов матрицы. В матрицепорядкаминор порядка называется базисным, если он не равен нулю, а все остальные миноры порядка контрольны нулю или миноров порядка вообще нет, то есть совпадает с меньшим из чисел.

Очевидно, что в матрице может быть несколько базисных миноров, но все они должны быть одного порядка. Рангом матрицы называется порядок базисного минора. Обозначается ранг матрицы —. Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными. Теорема о базисном миноре.

Контрольная работа № 4. Матрицы линейных операторов

Пусть имеет две обратные матрицы. Вариант 20 Щействия 1. Матрицы и действия над ними ы Матрицей размера называется прямоугольная таблица элементов некоторого множества например чисел или функций имеющая строк и столбцов Элементы из которых составлена а называются. Оно выполняется лишь в некоторых случаях. Системы контрольных Определители. Если http://regiongazservice.ru/9844-buhgalterskiy-uchet-v-nalogovoy-inspektsii-kursovaya.php квадратной матрицы отличен от нуля, то матрица называется невырожденной. Размерность линейного действия.

1. Элементы линейной алгебры занятие Матрицы и действия над ними Контрольные вопросы

Голуб, Ч. Вычисление определителей уравнений. Вариант 12 Задача 1. Фокусы, эксцентриситет, директрисы, центр, асимптоты. Заметим .

Найдено :